變換－求解－反演主算法（transform-solve-invert master algorithm）

所有個別的規律與表項，都是為了服務一個食譜而存在。主算法就是把它們綁在一起、實際解出線性初值問題的三步舞。一旦學會它，解這類初值問題就成了機械化的程序，而非創造性的掙扎。

三個步驟是：變換、求解、反演。第一步，變換：對微分方程的每一項施加拉普拉斯變換，用導數規律使初始條件自動滑入。你關於 y(t) 的方程變成關於 Y(s) 的代數方程。第二步，求解：這純粹是代數——把含 Y(s) 的項收攏並相除，孤立出 Y(s) = （某個 s 的多項式之比）。這裡完全沒有微積分，只有重新整理。第三步，反演：用部分分式、配方與平移定理化簡 Y(s)，直到每一塊都對上表，然後讀出反變換還原 y(t)。那個 y(t) 就是原初值問題的完整解，連同初始條件在內。

為什麼這值得成為一整套方法？因為它繞過了通常的兩階段古典做法。通常你先求出帶任意常數的通解，再另外施加初始條件去釘住那些常數。拉普拉斯把兩者融合：初始條件在第一步就進入並一路帶著，所以第三步直接交出特定解——任意常數從不出現。它在不連續外力（下一主題處理）的情形下尤其強大，古典逐情形拼接在那裡變成一次乾淨的變換。