導數的變換（transform of a derivative）

這是讓整套拉普拉斯方法值得一學的那一條規律。其他一切都是配角；這一條是主角。它說的是：我們在微分方程裡最害怕的運算——求導數——在 s 域裡變成幾乎不費力的事：乘以 s。這就是把微積分變成代數的魔法。

一階導數規律是 L{f'(t)} = s F(s) - f(0)。換句話說：導數的變換等於 s 乘函數的變換，再減去起始值 f(0)。二階導數規律在此基礎上建立：L{f''(t)} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)。注意兩件事。第一，每求一次導數大致就在前面帶出一個 s 因子——這就是「微分變成乘法」的效果。第二，也是關鍵，初值 f(0)、f'(0) 被自動減掉。它們不是你在最後才補上的事後手腳；你一做變換它們就進入方程。這條規律來自對定義積分施以分部積分，邊界上的 e^(-st) 因子恰好產生那個 f(0) 項。

正因這條規律，一個關於 y(t)、滿是 y'' 與 y' 的微分方程，就變成一個關於 Y(s)、且已把數值 f(0)、f'(0) 代入的代數方程。沒有一個獨立的步驟讓你「施加初始條件」去釘住任意常數；拉普拉斯方法根本一開始就不產生任意常數。這是這套方法的深層優勢，而這條規律正是那個優勢誕生之處。