分段連續（piecewise continuity）

想像一道樓梯，或是一個小時內被撥動幾次的電燈開關：你追蹤的東西，其圖形除了少數幾個突然跳變的時刻外，都平滑而規矩。分段連續正是「除了幾處乾淨的跳變外都連續」的精確說法。它恰好是拉普拉斯變換對輸入函數所需的那一點點良好性質。

正式地說，函數 f(t) 在一個區間上分段連續，是指你能把區間切成有限多段，在每一段上 f 都連續，而在每個斷點處函數由左趨近一個有限值、由右趨近一個有限值——兩者可以不同（這就是跳變），但都不准跑到無窮。所以你允許有限多個有限的跳變，卻禁止垂直漸近線（值爆掉）以及無窮多次的振盪斷裂。在任一段上圖形是一條不間斷的曲線；唯一的戲劇性發生在段與段的接縫處。

為什麼這會出現在拉普拉斯理論裡？因為現實中的外力常常是被開關的：在 t = 1 開啟的電壓、施加後又撤除的力、一個開關控制。這類輸入並不連續，卻是完全的分段連續，而變換能愉快地處理它們。分段連續是兩個溫和條件之一（另一個是指數階），它們合起來保證變換積分存在。這道門檻刻意設得低——這套方法本就是要應付工程實際送來的跳動訊號。