龐加萊回歸定理
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龐加萊回歸定理對有界的保守運動許下一個令人吃驚的承諾：只要等得夠久，系統就會回到任意接近它出發之處。它所曾造訪的每一組位置與動量的組態，遲早都會被幾乎一模一樣地重現。這純粹是劉維爾定理的幾何後果，卻與熱力學的時間之箭處於著名的張力之中。
定理陳述：對一個運動被限制在相空間有界區域內的哈密頓系統，幾乎每個初始狀態（除了一個零體積集合之外的全部）都會在某個有限時間後回到任意接近自身。其證明是對相空間體積的鴿籠論證。由於劉維爾定理使流保持體積，而可達區域的總體積有限，任一小鄰域在反覆演化下的像不可能永遠彼此不相交——否則它們填滿的體積會超過可用的體積。必有兩者重疊，再把時間倒轉，即顯示該鄰域必定重訪自身。玄機全在「終究」二字。
這條定理正是「回歸悖論」曾困擾統計力學奠基者的原因。若一個孤立氣體終究必須回到它初始的低熵狀態，第二定律又怎能說熵只會增加？化解之道在於尺度：宏觀系統的回歸時間長得天文——對一莫耳氣體而言，它遠遠超過宇宙年齡，約為任何尋常時間尺度的 exp(10^23) 倍。在人類的時間尺度上，熵增壓倒性地可能；而回歸只在任何實驗都無從探測的時間尺度上才是確定的。
對盒中寥寥幾個氣體分子，回歸既快又可觀測。對一莫耳（約 6 x 10^23 個分子），估計的回歸時間量級為 exp(N)，其中 N ~ 10^23——這個數字之龐大，使你以秒還是以宇宙年齡為單位計量都看不出差別。這條定理為真，卻與日常熱力學徹底無關。
龐加萊回歸原則上必然發生，但對宏觀氣體而言，其時間尺度使宇宙年齡相形見絀。
回歸需要相空間有界且流保持測度（哈密頓）。它對耗散系統（會收縮到吸引子上）與無界運動（逃向無窮的粒子永不返回）皆失效。它也不與第二定律矛盾——兩者描述的是截然不同的時間尺度。