哈密頓流

哈密頓流是隨著時間推進、相空間中每一點沿其軌跡平滑奔流的那股「風」——哈密頓量吹過相空間的風。固定一個哈密頓量，它便為每一段流逝的時間指定一個映射，把每個可能的初始狀態送到它此刻抵達之處。觀看這股流、而非單一軌跡，正是哈密頓圖像的幾何核心。

形式上，哈密頓量在相空間上定義一個向量場 X_H，其分量恰是哈密頓方程的右手邊：(q_dot, p_dot) = (partial H / partial p, - partial H / partial q)。流 phi_t 是把每個初始點 (q_0, p_0) 帶到其在時刻 t 之狀態的單參數映射族；它滿足 phi_0 = 恆等，且 phi_(t+s) = phi_t 與 phi_s 的複合（一個變換群）。每個 phi_t 都是正則變換，故此流保持辛形式、因而保持相空間體積（這正是劉維爾定理的另一種陳述）。任意可觀測量沿流的演化由帕松括號生成：df/dt = {f, H}。

這個觀點把時間演化本身重新詮釋為由哈密頓量生成的連續正則變換——哈密頓量就是時間平移的生成元。這一個想法向外擴散：它正是能量守恆與時間平移對稱為同一事實的原因（諾特），在量子力學中它成為時間演化算符 exp(-i H t / hbar)，也是數值辛積分器試圖一步步逼近、卻不破壞其保體積、正則特性的那個對象。