劉維爾定理
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劉維爾定理斷言：相空間像不可壓縮流體般流動。想像你把一小團可能的狀態染上顏色——一小塊位置與動量的區域——再讓哈密頓方程把其中每一點往時間前方帶。這團色塊會被拉伸、剪切、摺疊成極其複雜的形狀，但它的總體積永不改變。相空間中的密度沿運動守恆。
精確地說，令 rho(q, p, t) 為相空間中代表點的密度。劉維爾定理說其全（隨體）導數為零：d rho / dt = partial rho / partial t + {rho, H} = 0，等價於 partial rho / partial t = - {rho, H}。這是因為哈密頓流在相空間中無散度：sum_i (partial q_dot_i / partial q_i + partial p_dot_i / partial p_i) = sum_i (partial^2 H /(partial q_i partial p_i) - partial^2 H /(partial p_i partial q_i)) = 0，兩個混合偏導恰好相消——這正是哈密頓那個關鍵負號發揮作用之處。因此 2n 維相空間體積元 dq dp 在時間演化下不變，更一般地在任何正則變換下也不變。
正是這條定理使統計力學成為可能。它使我們有理由用相空間體積作為計數狀態的自然測度，撐起了微正則系綜的等先驗機率假設，並禁止軌跡被擠向吸引子——哈密頓系統不可能擁有耗散系統那種收縮體積的吸引子。這也是為什麼你在古典層面無法勝過不確定性原理：你可以把相空間面積搬來搬去，卻永遠無法壓縮它。
加速器中的一束粒子在（位置、動量）平面上佔據一塊面積，稱為射束的發射度（emittance）。劉維爾定理保證，理想（保守）的聚焦元件可以重塑射束——以動量的大幅散開為代價換取位置上的窄束——卻永遠無法減少總相空間面積。要縮小發射度，必須動用如輻射或隨機冷卻等非哈密頓手段。
粒子束的相空間面積（發射度）在保守光學下守恆——這是劉維爾定理直接的工程後果。
劉維爾定理只對哈密頓（保守）系統嚴格成立。一旦加入摩擦或任何耗散，相空間體積便會收縮——事實上收縮率等於流的散度，其負和正是耗散混沌中奇異吸引子的定義。