拉格朗日乘子

一個在「服從約束的同時求極值」時所用的巧妙記帳技巧。與其費力地把約束代入去消掉一個變數，你對每個約束引入一個額外的未知數，並把所有原本的變數都當成自由的。在力學裡，那個額外的未知數結果恰恰就是約束力。

要在 f(q, t) = 0 的條件下求極值，你把「lambda 乘以 f」這一項加進要變分的量裡，並把 lambda 當作一個獨立變數。尤拉-拉格朗日方程於是變成 d/dt (partial L / partial q_dot_i) - partial L / partial q_i = lambda (partial f / partial q_i)。等號右邊就是廣義約束力，解出整組方程就同時得到運動與 lambda 的值。每一條約束方程需要一個乘子。

在整個物理與最佳化中你都會遇到拉格朗日乘子。在統計力學裡，當你把熵取極大時，溫度與化學勢就以乘子的身分出現，用來施加「平均能量固定」與「粒子數固定」。在力學裡，它相對於「直接消去座標」的優點，是能白白送你約束力——張力或正向力——這往往正是你想知道的。