弗里德曼方程式（Friedmann equations）
/ FREED-mahn /
如果尺度因子告訴你宇宙有多大，弗里德曼方程式就告訴你它增長得多快、是在加速還是在減速。它們是整個宇宙的牛頓第二定律：把宇宙的組成——物質、輻射、暗能量——投進去，出來的就是空間本身的命運，是永遠膨脹、逐漸滑行，還是有朝一日重新塌縮。
它們源自愛因斯坦場方程式，前提是假設宇宙均勻且各向同性——處處相同、每個方向相同——這把幾何固定成 FLRW 形式。第一條弗里德曼方程式是 (a_dot / a)^2 = (8 pi G / 3) rho 減 k c^2 / a^2 加 Lambda c^2 / 3，把膨脹率 H = a_dot / a 與總能量密度 rho、空間曲率 k 和宇宙常數 Lambda 聯繫起來。第二條，即加速方程式，是 a_ddot / a = 減 (4 pi G / 3)(rho 加 3 p / c^2) 加 Lambda c^2 / 3，顯示普通的壓力 p 與密度都使膨脹減速，而 Lambda 則推動它加速。兩者合起來支配了 a(t)。
藏在加速方程式裡的教訓意義深遠：因為在廣義相對論中重力不只回應密度、也回應壓力，一個具有足夠負壓力的成分（p 比 減 rho c^2 / 3 更負）會使膨脹加速而非減速。這正是暗能量或宇宙常數如何驅動觀測到的宇宙加速。這些方程式假設完美的均勻性，這是一種理想化，只在最大尺度上成立；在星系的尺度上，真實的宇宙是非常疙瘩不平的。
對一個平坦、物質主導的宇宙（k = 0、Lambda = 0），第一條方程式給出 a(t) 正比於 t^(2/3)，是持續減速的膨脹。若開啟宇宙常數，在晚期 a(t) 改按 e^(Ht) 增長，成為加速膨脹，這正是我們宇宙在數十億年前進入的狀態。
組成進、膨脹史出：弗里德曼方程式是宇宙學的引擎。
第一條弗里德曼方程式是一個約束條件（對 a_dot 為一階），第二條才是真正的運動方程式；兩者再配上一條把 p 與 rho 相聯繫的狀態方程式，才使系統封閉。它們的均勻性假設是一種理想化，只在數億光年以上的尺度成立。