愛因斯坦場方程

約翰·惠勒把整個廣義相對論濃縮成一句話：物質告訴時空如何彎曲，時空告訴物質如何運動。愛因斯坦場方程就是前半句的精確版本。它是重力的主定律，這條關係決定時空為回應塞進其中的能量與動量而彎曲得多少、以何種方式。牛頓的重力定律則作為完整陳述的一道溫和、緩慢、弱場的影子，從中浮現。

以緊湊形式寫出，它是 G_ab + Lambda g_ab = (8 pi G / c^4) T_ab，其中 G_ab 是由曲率構成的愛因斯坦張量，T_ab 是描述一切物質與能量的能量-動量張量，Lambda 是宇宙常數，G 是牛頓常數，c 是光速。這是關於度規十個分量的十條耦合、非線性偏微分方程。因為愛因斯坦張量自動無散度，這些方程把能量與動量的局部守恆 nabla^a T_ab = 0 當作內建的結果強制成立，而非額外的假設。

在弱場、慢速的極限下，這些方程塌縮成牛頓的方程，重現重力位的帕松方程 del^2 phi = 4 pi G rho，因此廣義相對論把牛頓重力當作一個特例包含在內。但對「極限」的意思必須誠實：這些方程是真正非線性的，重力本身攜帶能量，因而也會產生重力；在黑洞附近或宇宙早期，根本不存在對牛頓的小修正，幾何被牛頓理論完全無法表達的效應所主宰。廣義相對論不是「牛頓加一點微調」；它是一套不同的理論，只是在重力弱、運動慢時恰好與牛頓一致。