碎形維度（fractal dimension）

線是一維、正方形是二維、立方體是三維——維度是整數，普通幾何如是說。但一條海岸線、一片雪花的邊緣，或一個奇異吸引子的橫截面，皺褶得如此無窮，看似比線填得更滿卻又不及一個平面。碎形維度就是那個（通常非整數的）數，精確量度這種粗糙物件把它所在的空間填得多徹底。

其要旨是問「細節量如何隨解析度標度」。用邊長 epsilon 的方格覆蓋該物件，數需要多少個 N(epsilon)。對平滑的 d 維物件 N(epsilon) ~ epsilon^(-d)；推廣之，盒計數維度為 D = lim（當 epsilon -> 0）ln N(epsilon) / ln(1/epsilon)，此 D 不必是整數。經典範例是康托爾集（把線段中間三分之一永遠挖去）：其 D = ln 2 / ln 3 = 0.6309...，多於一點卻少於一線。對由 m 個各縮小 s 倍之副本組成的自相似碎形，同一公式給出 D = ln m / ln(1/s)。相關但相異的定義——豪斯多夫維度、關聯維度、資訊維度——對乾淨的自相似集彼此一致，但對真實吸引子可能有微妙差異。

碎形維度使「奇異吸引子」中的「奇異」變得精確：它量化混沌動態無盡伸展-摺疊所生成的自相似、尺度不變的層疊。你會在勞倫茲吸引子（約 2.06）、埃農吸引子（約 1.26）、海岸線、湍流與多孔介質的維度中遇見它。非整數維度是「每個尺度都有結構」的指紋——無論放大多少倍，總有新細節浮現。一個值得標記的告誡：幾種碎形維度（豪斯多夫、盒計數、關聯）對理想化的自相似構造彼此重合，但一般而言並不相同，故所述的「碎形維度」應指明是哪一種。