狄拉克 delta 函數（Dirac delta function）
/ dee-RAK /
想像把某樣東西——質量、電荷、機率——的一整個單位，全部擠進單一一點：無限高、無限細，總量卻恰好是一。那個理想化就是狄拉克 delta。它不是通常意義下的函數（沒有一個誠實的函數會處處為零卻有面積一）；它是一個極限——一個越來越窄、越來越高的尖峰的極致化。
狄拉克 delta delta(x) 不由它的值定義，而由它在積分裡所做的事定義：它是使 delta(x) dx 的積分等於 1、而且更關鍵地具篩選性質、使 f(x) delta(x - a) dx 的積分等於 f(a) 的那個物件——它把任何測試函數在點 a 的值挑出來。嚴格說它是一個分布（廣義函數），是作用在光滑測試函數上的連續線性泛函，是諸如變窄的高斯、或 (1/(2 pi)) 乘上 e^(i k x) dk 積分這類新生 delta 的極限。它的導數藉由把微分挪到測試函數上來定義：delta'(x) f(x) dx 的積分等於 -f'(0)。
它是物理學家處理任何點狀或瞬時之物的工具：一個點電荷的密度是 q delta(r - r0)，一個尖銳的脈衝是 F delta(t)，而連續基底（位置、動量）的正交歸一寫成 x 與 x' 的內積等於 delta(x - x')。它是定義格林函數的源項（L G = delta），而它的傅立葉表示正是讓一個純指數的轉換成為一個 delta 尖峰的原因——一個完美尖銳頻率的數學陳述。
篩選性質實際運作：cos(x) delta(x - pi) 從 -infinity 到 infinity 的積分等於 cos(pi) = -1。位於 x = pi 的尖峰忽略了其他所有地方的 cos(x)，只回報它在該點的值。
delta 函數在單一點上取樣一個函數。
它不是一個函數，把它當函數操作會招來胡言（delta(0) 不是一個數，delta(x)^2 也沒有定義）。它只有在對一個光滑測試函數積分時才合法——那是它唯一擁有的意義。