量子力學一：形式體系
希爾伯特空間（Hilbert space）
/ HIL-bert /
每個量子態都是一個向量，而希爾伯特空間（Hilbert space）就是這些向量所住的舞台。如果你懂普通箭頭如何相加、如何取點積，你就已經有了圖像——希爾伯特空間就是把這個想法推廣，容許複數分量、無窮多維，以及一個長度概念好讓極限乖乖運作。它是整齣量子力學戲碼上演的舞台。
形式上，希爾伯特空間是一個配備了內積 <phi|psi> 的複向量空間，內積為每一對向量指派一個複數，並具備完備性（completeness）：每個向量的柯西數列都收斂到仍在空間內的一個向量。內積給出範數 ||psi|| = sqrt(<psi|psi>)，讓你能說何時兩態正交（<phi|psi> = 0），並支撐機率幅。對一維中的單一粒子，相關的空間是 L^2，即那些使 |psi|^2 dx 積分有限的平方可積函數 psi(x)；對自旋 1/2，它就只是二維空間 C^2。
為何這層抽象值回票價：疊加不過就是向量相加，測量是往某子空間的投影，可觀測量是作用在空間上的算符，而完備性保證你寫下的那些極限與無窮和（傅立葉展開、譜分解）真的會落回空間之內。狄拉克的左右矢（bra-ket）記號就是這些向量的操作語言，它讓你能在完全不指定某個座標表象的情況下進行計算。
單一光子的偏振態構成一個二維希爾伯特空間 C^2，由 |水平> 與 |垂直> 張成；斜偏振光子就是疊加 (|H> + |V>)/sqrt(2)。
即使最簡單的量子系統也是一個帶內積的向量空間；疊加就是相加。
完備性（柯西數列收斂於空間之內）是技術上的核心；正是它讓無窮疊加與譜展開值得信賴，而非僅是形式操作。
又称
另见