數學物理方法
拉普拉斯轉換（Laplace transform）
/ lah-PLAHSS /
在時間中解微分方程之所以困難，是因為導數把相鄰的時刻耦合在一起。拉普拉斯轉換用一個更容易的問題把整件事換掉：它把時間 t 的函數重新打包成一個新複變數 s 的函數，並在此過程中把微積分（微分、積分）變成代數（乘、除）。你解那個容易的代數問題，再轉換回來。
f(t) 的拉普拉斯轉換是 F(s) = e^(-s t) f(t) 從 0 到 infinity 的積分，對積分收斂的右半平面中的複數 s 有定義。它決定性的優點是導數規則：f'(t) 的轉換是 s F(s) - f(0)，f''(t) 的轉換是 s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)——初始條件被自動內建進去。因此一個線性常係數常微分方程就變成 F(s) 的多項式方程；先代數求解再反轉換，通常用部分分式或布倫維奇迴路積分（留數定理便由此再度登場）。
它是初值問題與暫態的日常工具：RLC 電路、阻尼振子、控制系統，以及階躍與脈衝響應都能由它解決。F(s) 在複 s 平面上的極點就是系統的固有頻率與衰減率——實部為正的極點代表增長模與不穩定。這個從 0 起算的單邊積分，正是它不同於傅立葉轉換、天生適合處理在 t=0 開啟這類因果問題的原因。
對衰減 f(t) = e^(-a t)，F(s) = e^(-(s + a) t) 的積分 = 1/(s + a)。位於 s = -a 的單一極點，恰好就是原信號的衰減率 a。
一個衰減指數轉換成位於其衰減率負值處的單一極點。
收斂需要 s 的某個範圍（半平面 Re(s) 大於某個橫坐標）；像 e^(t^2) 這種函數增長太快，沒有拉普拉斯轉換。轉換存在並非理所當然。
又称
另见