持續同調（persistent homology）
看一團資料點，問：它有沒有洞、迴圈、空腔——而且在哪個尺度上？把靠近的點連起來，你就開始填出形狀，但答案完全取決於「靠近」有多近：太緊你只看到孤立的點，太鬆一切就融成一團。持續同調拒絕選定單一尺度。它反而同時觀察所有尺度上拓樸的變化，記錄哪些特徵是稍縱即逝的雜訊、哪些在很長一段尺度範圍內持續存在而為真結構。
機制如下。你建一個過濾（filtration）：一個逐漸增長的單純複形族 K_0 subset K_1 subset ... subset K_n，通常透過增大一個半徑參數（維托里斯-里普斯或切赫構造）使越來越多單純形出現。當參數增長時，同調類誕生（出現一個新迴圈）而後死亡（迴圈被一個 2 胞腔填滿）。對每個類你記下它的誕生值 b 與死亡值 d；數對 (b, d) 是持續圖中的一點，而區間 [b, d) 是條碼中的一根長條。壽命 d - b 量度持續性：長條是資料穩健的拓樸特徵，短條是取樣雜訊。計算上這是把整個過濾的邊界矩陣約化成一個範式（在某個體上的矩陣約化，經典為 O(n^3)，但在實務上靠優化近乎線性），而其代數仰賴持續模的結構定理，保證了唯一的條碼分解。
持續同調是拓樸資料分析的引擎：它無座標、對雜訊穩健，並適用於點雲、影像、網路與時間序列等古典統計在形狀面前難以著力之處。它已用於研究蛋白質摺疊的結構、神經活動的拓樸、材料微觀結構與宇宙網。關鍵的誠實：持續性偵測拓樸，而非幾何——它告訴你一個迴圈存在、存活多久，卻不告訴你它在哪、或除了誕生／死亡尺度之外的絕對大小；過濾的選擇（Rips 對 Cech 對下水平集）會改變答案；而同調是在某個體上，所以經典條碼看不見整數撓元。它是一個強大的摘要，而非空間的完整重建。
在一個圓周圍帶雜訊地取樣點，並對半徑建維托里斯-里普斯過濾。在極小半徑時你看到許多連通分量（H_0 長條），它們很快合併成一個。在 H_1 中，一根單一的長條在點首次形成迴圈的半徑出現，且僅當半徑大到足以填滿圓盤時才死亡——那一根長條就是圓的洞，清楚地凸出於一堆短雜訊長條之上。
一根長的 H_1 長條揭示了那個圓；那群短條只是取樣雜訊。
持續性看見拓樸，而非位置或絕對幾何，而經典條碼是在某個體上計算，所以對整數撓元視而不見，那是 Z 係數奇異同調會偵測到的。結果也取決於你所選的過濾；同一組點的 Rips 與 Cech 條碼可能不同。