神經定理（nerve theorem）

假設你用一些重疊的團塊覆蓋一個形狀，而只記錄哪些團塊與哪些相交。你能單憑那份相交帳本重建這形狀的拓樸嗎？出人意料地，往往可以。神經定理說：若團塊及其所有重疊都夠好（每個非空交集都可縮——本身沒有洞），則一個純由重疊模式建出的小組合複形，即神經，與原空間有相同的同倫型。拓樸在被壓縮為純組合後仍存活。

構造如下。給定空間 X 的一個開覆蓋 U = {U_1, ..., U_m}，神經 N(U) 是一個抽象單純複形，其頂點是各集合 U_i，其 k 維單純形是那些共同交集非空的 (k+1) 元覆蓋子集：{U_{i_0}, ..., U_{i_k}} 恰當 U_{i_0} 交 ... 交 U_{i_k} 非空時為單純形。定理（對良好覆蓋——每個非空有限交集都可縮——在仿緊空間上）給出同倫等價 X 同倫等價於 |N(U)|。所以你能把一個可能複雜的連續空間，換成一個有限的組合裝置，仍正確算出它的同調、基本群等等。這是切赫複形的骨幹：用半徑 r 的球覆蓋一個點雲，那個覆蓋的神經就是尺度 r 的切赫複形。

神經定理正是為何拓樸資料分析能算出一個取樣空間的拓樸：切赫過濾的複形是逐漸增長的球覆蓋之神經，所以在良好覆蓋假設下，它們的同調等於球聯集的同調，而那（對取樣良好的流形）重現了流形的拓樸。它也驅動邁耶-菲托里斯論證、感測器網路中的分散式覆蓋問題，以及像 Mapper 這類流形學習方法。要緊的誠實：定理需要良好覆蓋（交集可縮）條件——若某個重疊本身有洞，神經就可能對拓樸說謊。維托里斯-里普斯複形只檢查兩兩重疊，一般而言並不是神經，也不必滿足這個結論，不過它被夾在相關尺度的切赫複形之間（交織），這正是它在實務上得救的方式。