切赫上同調（Čech cohomology）
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以內射分解定義的層上同調概念上乾淨，卻無法徒手計算。切赫上同調是那道腳踏實地、組合性的配方，真正讓你能去算：選定空間的一個開覆蓋，直接從你的層在覆蓋集及其所有多重重疊上的截面，造出上同調。它把上同調的計算化為對有限（或至少具體）交集的記帳，而在代數幾何的空間上，它通常精確地重現出抽象的層上同調。
精確地說，固定 X 的一個開覆蓋 U = {U_i} 與一個層 F。一個切赫 p-上鏈把每個 (p+1) 重交集 U_{i_0} 交 ... 交 U_{i_p} 指派到那裡的一個 F 截面；這些構成群 C^p(U, F)。切赫微分 d: C^p -> C^{p+1} 是限制的交錯和，(d s)_{i_0 ... i_{p+1}} = sum_k (-1)^k s_{i_0 ... (略去 i_k) ... i_{p+1}} 限制到更大的交集。於是 d 與 d 複合為 0，而切赫上同調 H^p(U, F) 是此複形的上同調；完整的切赫上同調 H^p(X, F) 是沿覆蓋之加細所取的正向極限。低次數一目了然：H^0 = 整體截面（一個微分為零的 0-上鏈是一族在重疊處一致的局部截面，依層公理即整體截面），而 H^1 分類黏合的阻礙——一個 1-上閉鏈恰是一套重疊資料，如線叢的轉移函數，模去那些來自 0-上鏈者。
切赫上同調是標準的計算引擎：射影空間上 O(d) 的上同調、從而實務中的塞爾對偶與黎曼-羅赫，都用標準仿射覆蓋的切赫複形算出。決定性的比較定理（勒雷）說：若覆蓋對 F 是非循環的——覆蓋集的每個有限交集都有 F 的消失高階上同調（對擬凝聚層，仿射的有限交集仍仿射，故非循環）——則相對於該覆蓋的切赫上同調等於導出函子的層上同調。誠實的告誡。其一，對「壞」覆蓋，切赫上同調可能給出錯誤答案；你必須用非循環（勒雷）覆蓋，且唯有沿一切加細的極限才在一般情形下保證一致。其二，即便加細後的切赫上同調，在病態（非仿緊）空間上仍可能與導出函子上同調不同；其一致是一條帶前提的定理，對分離概形上的擬凝聚層與對仿緊空間最為乾淨。所以切赫是你拿來計算的工具，但「切赫 = 層上同調」是一句你必須掙得、而非假設的話。
用標準覆蓋 U_0, U_1（兩張仿射圖卡）計算 H^1(P^1, O(-2))。交集是去心直線 Spec k[t, 1/t]；一個 1-上鏈是其上的一個羅朗級數、0-上鏈是圖卡上（限為羅朗的）正則函數之對，而 H^1 =（重疊上的羅朗）/（U_0 上正則 + U_1 上正則）。對 O(-2)，此商一維，由 1/t 之類生成——與導出函子的答案、以及 H^0(O(0)) = k 的塞爾對偶相符。
切赫經由兩圖卡覆蓋算出 H^1(P^1, O(-2)) = k：羅朗尾項模去正則部分。
切赫上同調唯有對「非循環」（勒雷）覆蓋才等於導出函子的層上同調——壞覆蓋給出錯誤答案，而在非仿緊空間上即便加細的極限也可能不同。對分離概形上的擬凝聚層，仿射覆蓋是非循環的，兩者一致。