持續穩定性定理（persistence stability theorem）

一個把雜訊資料轉成拓樸摘要的方法，只有在資料的小擺動只引起摘要的小擺動時才值得信賴。持續穩定性定理是使拓樸資料分析成為一門科學、而非奇珍的保證：把你的資料擾動一點，持續圖只移動一點，移動量可由擾動的大小界定。沒有這個，單一個放錯位置的點就可能重排整個條碼，方法也就無用了。

精確地說，在其最乾淨的形式（Cohen-Steiner、Edelsbrunner、Harer）中：對同一空間上的兩個實值函數 f 與 g，配下水平集過濾，它們持續圖之間的瓶頸距離至多是函數之間的上確界範數距離，d_B(Dgm(f), Dgm(g)) <= ||f - g||_infinity。還有一個更強的代數版本：兩個持續模之間的交織距離（interleaving distance）上界其圖之間的瓶頸距離，事實上兩者相等（等距定理）。對點雲 TDA，一個伴隨結果以點集間的格羅莫夫-豪斯多夫距離界定圖的變化，所以重新取樣或抖動資料只會以受控量擾動條碼。瓶頸距離在此是恰當的度量，正因定理是以它陳述：它在 epsilon 內匹配圖點，並讓近對角線（低持續性）的點可自由生滅。

這定理正是為何長條能心安理得地讀作訊號、短條被當雜訊摒棄：量級為 epsilon 的雜訊只能生滅長度至多 2*epsilon 的長條，所以任何遠長於雜訊水準的長條都是真的。它撐起了對圖的統計推論、信賴集與機器學習流水線。誠實的告誡：穩定性是在瓶頸（或 Wasserstein）度量下，而一個穩定的圖並不意味資料在任何更強的意義下「相近」——迥異的形狀可有相近的圖；函數穩定性界定假設一個固定的底層空間，而點雲穩定性用較粗的格羅莫夫-豪斯多夫控制；而「小擾動」必須以定理實際使用的範數來衡量，而非某種直覺的相近概念。