史特姆比較定理（Sturm comparison theorem）
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二階常微分方程的解有多「扭動」——它多常穿越零點？史特姆比較定理透過讓兩個方程相互較量來回答：擁有較大「回復力」的那個振盪得較快、塞進更多零點。這是振盪的定性幾何，完全不需要解的公式。
取兩個自伴形式的方程，(p u')' + Q_1 u = 0 與 (p v')' + Q_2 v = 0，在同一區間上，且逐點 Q_2 >= Q_1。比較定理說：在 u 任兩個相鄰零點之間，係數較大 Q_2 的方程的解 v 必至少有一個零點。較大的 Q 意味著朝零點較強的拉力，因而振盪較緊密。配套的史特姆分離定理是 Q_1 = Q_2 的特例：同一方程的任兩個獨立解互相交錯——其一的相鄰零點之間恰有另一者的一個零點（想想 sin 與 cos）。
這正是特徵函數隨特徵值增大而振盪更甚的理論原因：-u'' = lambda u 中較大的 lambda 起著較大 Q 的作用，迫使更多零點。比較定理讓你能數零點、證明第 n 個特徵函數有 n-1 個內部零點（振盪定理），並在不解任何東西的情況下定位特徵值。它也是常微分方程理論中穩定性與非共軛性結果的基礎。
比較 u'' + u = 0（解 sin x，零點相隔 pi）與 v'' + 4 v = 0（此處 Q_2 = 4 > 1 = Q_1；解 sin 2x，零點相隔 pi/2）。在 sin x 的兩個零點之間——比如 0 與 pi——函數 sin 2x 確實在 pi/2 處有一個零點，正如比較定理所保證。係數較強者振盪快了一倍。
係數越大、振盪越快、零點越多——在不解任何一個方程的情況下證明。
定理比較的是零點的數目與位置，而非解的大小或形狀。且乾淨的敘述需要兩方程有相同的 p(x)（或 p_2 <= p_1）——比較最高階係數差異很大的方程，需要更一般的史特姆-皮科內形式。