史特姆-劉維理論與特徵函數展開
特徵值的極小極大刻劃（min-max characterization of eigenvalues）
雷利商把最低特徵值表示為一個最小值。但你要如何在尚未知道前面的特徵函數的情況下，靠最小化抵達第二、第三乃至更高的特徵值？極小極大刻劃回答了這點：它把每個 lambda_n 純粹刻劃為一場在子空間上「先最小化再最大化」博弈的結果，事先不需要任何特徵函數。
一個乾淨的版本（庫朗-費雪原理）說：lambda_n 等於——在所有 n 維容許函數子空間 V 上取——雷利商 R[u] 在 V 中非零 u 上最大值的最小值。用話講——你挑出試驗函數最佳的 n 維「分布」，看其中最壞（最大）的雷利值，而在所有選法中這種最壞情形的最小者，恰是第 n 個特徵值。一個較簡單的相關形式：lambda_n 是 R[u] 在所有與前 n-1 個特徵函數正交的 u 上的最小值。
它之所以強大：它讓特徵值在從未真正解方程的情況下變得單調且可比較。縮小區域或讓算子更「硬」，每個 R[u] 都只能上升，於是每個 lambda_n 都上升——這是你能直接從公式讀出的事實。這就是特徵值比較定理、特徵值如何成長的外爾漸近律、以及嚴格數值界限背後的引擎。它與支配對稱矩陣的庫朗-費雪極小極大是同一個，只是提升到了微分算子。
區域單調性：把振動膜放大，每個自然頻率都會下降。極小極大立刻解釋了它——小區域上的容許函數可（補零）延拓到大區域，故大區域的最小化子空間含有更多候選，極小極大值只能減小，因而每個 lambda_n 減小。較大的鼓聲音較低，無需任何計算。
極小極大把「較大的鼓聲音較低」變成一行嚴格證明。
有兩種等價讀法——先最小化再最大化（庫朗-費雪）與先最大化再最小化——孰是孰非取決於你是否從最低開始為特徵值編號。兩者給出相同的數；關鍵要點是特徵值是極值，因而在區域或係數改變下單調。
又称
另见