潘哲递归
/ PAN-yer /
你想要年度总损失S的完整分布——不只是它的均值，而是S等于0、或1000、或50000的概率，一路直到尾部。暴力做法是考虑每一种可能的理赔件数、再把各金额分布加起来，计算量呈爆炸式增长。潘哲递归是一条巧妙的捷径：它一次算一个取值地构建出整个总损失分布，用已经求得的概率去推出每一个新的概率。
只要频率属于(a,b,0)或(a,b,1)类（泊松、二项、负二项及其零调整版本）、且严重度被放到一个离散网格上（取整为某单位的倍数，比如100），它就成立。该递归用严重度的概率和更小的总损失取值的概率，并借助定义频率类的同样的常数a、b，来表示总损失等于每个网格点的概率。从总损失为零的概率出发，它逐级向上推进：每个新概率都是若干较早概率的加权和。这就把一个精确却慢得离谱的卷积，换成了一个精确而快速的循环。
潘哲递归是实务中求总损失分布的标准精确方法，用于定价、准备金、再保险层级和资本，而且它在尾部远比那个诱人的正态近似精确。两点诚实的提醒。第一，它要求对严重度离散化，而跨度（网格宽度）的选择是在精度与速度之间权衡——网格太粗会扭曲结果，尤其在尾部。第二，它依赖频率属于(a,b,0)/(a,b,1)族；对于该族之外的频率、或网格非常庞大时，从业者转而使用快速傅里叶变换或蒙特卡洛模拟。
在泊松频率（a＝0、b＝lambda）下，把严重度离散化为一笔理赔取1或2个单位、概率分别为0.6和0.4，则递归从P(S＝0)＝e^(-lambda)出发，再依次算出P(S＝1)、P(S＝2)……每一个都由较早的取值乘以按lambda/k缩放的严重度概率得到。在一个快速循环里，S的整个分布——从而任意尾部概率——都被精确产出。
从P(S＝0)向上逐级构建P(S＝每个取值)——精确、快速，在尾部远胜正态拟合。
该递归需要把严重度离散化到网格上，而网格太粗会扭曲结果，尤其在尾部。它还要求频率属于(a,b,0)/(a,b,1)族；不在此族时，改用快速傅里叶变换或模拟。