最佳停止與自由邊界問題（optimal stopping and the free-boundary problem）

最佳停止問題問：我看著隨機過程 X_t 演化，在我選定的任一時刻可以停止並領取報酬 g(X_tau)（可能折現、可能再扣執行成本）。我該何時動手？這個決定必須沒有先見之明——停止時刻 tau 必須是停止時間，只依賴我至今所見、而非未來。這是不確定下每一個「現在動手還是再等」決策的原型：何時履約選擇權、何時賣出資產、何時停止抽樣並宣布判決、何時維修或報廢機器。價值函數 V(x) = sup_tau E_x[ e^(-r tau) g(X_tau) ] 是從 X_0 = x 出發的最佳期望報酬，上確界取遍所有停止時間。

狀態空間分成兩個區域。延續區 C = { x : V(x) > g(x) } 是等待嚴格優於停止之處；停止區 D = { x : V(x) = g(x) } 是該立即停止之處。兩者之間的界線即自由邊界——稱「自由」是因為它的位置並非事先給定，而是未知量的一部分，由問題本身決定。在 C 上價值函數滿足齊次偏微分方程 (L - r) V = 0，其中 L 是 X 的生成元（對擴散而言是二階橢圓算子）；在 D 上它等於 g。把兩者黏起來便得到一個自由邊界問題，等價於整個空間上的變分不等式 min{ rV - L V, V - g } = 0，並附帶光滑接合條件：V 及其一階導數越過邊界時與 g 相接。就機率而言，折現價值過程 e^(-rt) V(X_t) 是個上鞅，直到最佳停止時間 tau* = inf{ t : X_t in D }（首次進入停止區）為止才成為鞅。

這正是機率與偏微分方程交會得最乾淨之處：斯涅爾包絡（支配報酬的最小上鞅）是抽象解，而變分不等式是其分析面貌，最佳規則永遠是「在 X 首次離開 C 時停止」這種門檻／區域規則。一個誠實的提醒：光滑接合（V' 的連續性）在正則性下是定理（例如非退化擴散、g 夠光滑且邊界正則時），不是白吃的午餐——對含跳躍或退化擴散的問題它可能失效，必須驗證而非假設。此外，若視界無窮且報酬不衰減，上確界未必能達到；可積性／橫截條件是誠實陳述的一部分。