算符与本征值（operator and eigenvalue）

想象一台机器，它接收一个形状，再吐出一个被变换过的形状：它可能把形状拉伸、旋转，或翻转。大多数形状出来后样子都变了。但有少数特殊的形状，出来后仍指向和原来一样的方向，只是被某个数放大或缩小了。量子力学正建立在这幅图景上。算符就是代表某个可测量量的那台机器，而被它保持指向不变的那些特殊状态，正是拥有确定数值的状态。

更准确地说，算符是一条作用在波函数上的数学指令——能量有一个、动量有一个、位置有一个，等等。当算符作用在某些特殊的波函数（称为本征函数）上时，它会把同一个波函数原样吐回来，只乘上一个普通的数。那个数就是本征值，它正是你对该量会测得的数值。薛定谔方程本身就是这样一种关系：能量算符作用在一个波函数上，返回的是这个波函数乘以它的能量。

诚实地说，正是这套框架使量子化自动浮现：只有某些本征值被允许，所以只能测到某些能量或动量。如果一个系统不处于某个量的本征态，那么这个量就没有单一的确定值——一次测量会以波函数所设定的概率，给出某一个被允许的本征值。这正是量子世界那幅模糊、概率性图像背后精确的运作机制。