級數解與特殊函數
勒讓德方程（Legendre equation）
/ luh-ZHAHND /
當你求解一個具球對稱的物理問題（行星周圍的重力位、球上的溫度、氫原子中的電子）並分離變數時，角度部分會一再地產生同一個方程。那個反覆出現的角度方程就是勒讓德方程。它是物理學中最重要的變係數方程之一，正因為球體無處不在。
它寫作 (1 - x^2) y'' - 2x y' + l(l+1) y = 0，其中常數 l（常是分離變數帶來的參數）掌控一切，而 x 通常代表 cos(theta)，即極角的餘弦，故自然定義域為 -1 <= x <= 1。點 x = 1 與 x = -1（球的南北兩極）是正則奇點，而 x = 0 是常點，可在那裡用冪級數解。建造該級數並比對係數得到一個兩項遞迴；妙處在於當 l 為非負整數時，級數會終止成一個多項式，且該多項式在兩極保持有限，而非終止的那個解在那裡卻爆掉。
這個終止正是關鍵所在：球上的物理解在兩極必須有限，而這個要求迫使 l 為非負整數，並挑出多項式解，即勒讓德多項式。所以勒讓德方程不只是級數的練習，它是量子化角動量與熟悉的多極展開進入物理學的門戶。
取 l = 2：方程 (1 - x^2) y'' - 2x y' + 6 y = 0。終止的級數解是多項式 P_2(x) = (3x^2 - 1)/2，在 x = +-1 處完全有限。另一個非多項式解在兩極對數發散，基於物理理由被捨棄。
唯有整數 l 給出在兩極有限的多項式，物理邊界條件把 l 量子化了，正如它量子化角動量一般。
對非整數 l，「通解」在數學上存在，卻在 x = +-1 處爆掉；物理上可接受的解是小得多的一組，由要求兩極有限挑選出來，這是邊界條件的效應，而非代數上的偶然。
又称
另见