冪級數法（power-series method）
有時方程裡的係數不是常數，而是 x 的函數，例如 y'' + x y = 0，這時那些整潔的配方（特徵方程、待定係數法）全都派不上用場，因為它們都假設係數為常數。冪級數法是一條出路：不再去尋找由 e^(rt) 或正弦餘弦這類熟悉函數拼成的解，而是用一個無窮多項式逐項地把解建造起來，再讓方程本身告訴你那些係數該是什麼。
把想法走一遍。你把未知函數寫成冪級數 y = 從 n=0 到無窮的 a_n x^n 之和 = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...，其中 a_n 是你尚未知道的數。逐項微分便得到 y' 與 y'' 的級數。把這三個級數全代入方程，再依 x 的冪次把各項收攏。由於一個冪級數恆為零，當且僅當每個係數都為零，因此 x 的每一冪次就給出一條把未知 a_n 連繫起來的方程，這就是遞迴關係。解這個遞迴，便能用少數幾個自由起始值（此處是 a_0 與 a_1，它們恰好是 y(0) 與 y'(0)）表示出所有 a_n，而這些自由常數正是通解中的任意常數。
這個方法是處理變係數方程的主力，物理學中那些偉大的特殊函數（勒讓德、貝索、埃爾米特）正是這樣首次被發現的。兩點誠實的提醒：唯有在常點（係數性質良好之處）附近展開，級數才保證能乾淨地進行；而答案是一個無窮級數，並非由初等函數寫成的公式。級數常常沒有名字，你只需保留所需的項數即可；有時則美妙地塌縮成一個多項式或一個已知函數。
對 y' = y、y(0) = 1，寫 y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...，則 y' = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + ...。逐冪比對 y' = y 得 a_1 = a_0、2 a_2 = a_1、3 a_3 = a_2，故 a_n = a_0 / n!。取 a_0 = 1，級數即 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = e^x，這方法從零重建了指數函數。
遞迴 a_n = a_0/n! 由比對係數產生；唯一的自由常數 a_0 承載著那一個初始條件。
此法找到的是一個滿足方程的級數；至於該級數是否真的收斂（以及在哪段區間上收斂），是另一個由收斂半徑回答的問題。