弗羅貝尼烏斯法（method of Frobenius）
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平凡的冪級數法在常點處運作得漂亮，但在奇點處便瓦解，而奇點往往恰是物理發生之處。弗羅貝尼烏斯法是救援：一個巧妙的推廣，藉著容許級數前頭以一個非整數冪起頭，在正則奇點處找到級數解。它是給我們貝索函數的工具，且恰恰在簡單方法放棄之處發揮價值。
把訣竅以平實步驟說明。不再用 y = a_n x^n 之和，而是嘗試一個「弗羅貝尼烏斯級數」y = x^r 乘以 (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...)，其中 r 是你必須求出的未知指數（可能是分數、可能為負），且取 a_0 不為零。把它代入方程。x 的最低冪次給出一條只關於 r 的方程，即指標方程，其根告訴你容許的指數。其餘冪次則一如既往給出 a_n 的遞迴。前頭那個因子 x^r 正是吸收掉平凡泰勒級數所無法處理的溫和奇性的東西。
完整的方法依兩個指標方程根的關係而分情形，有時還須加上一個對數才能捕捉第二個解，但核心想法不過是「前頭帶一個靈活冪次的泰勒級數」。它最大的限制很誠實：只在正則奇點處才有保證。在非正則奇點處，前頭加冪這一招還不夠，你得另尋他法。
對 2x y'' + y' + y = 0 在正則奇點 x = 0，試 y = x^r (a_0 + a_1 x + ...)。最低冪次給出指標方程 2 r(r-1) + r = 0，即 r(2r - 1) = 0，故 r = 0 或 r = 1/2。那半整數指數 r = 1/2 正是平凡泰勒級數絕不可能產生的。
此處指數 r 為分數（1/2），前頭的 x^(1/2) 正是弗羅貝尼烏斯法能觸及普通級數所不能及之處的核心。
務必要求 a_0 不為零；正是它把 r 定為真正的領頭指數。若你不慎令 a_0 = 0，就只是移到了更高的冪次，對指標根一無所獲。