貝索函數（Bessel functions）
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正如圓給我們正弦與餘弦，圓柱給我們貝索函數，即求解貝索方程的特殊函數。它們看起來像被輕輕拉伸又壓縮過的正弦餘弦：永遠振盪、一再穿越零點，但振幅緩慢消退，零點的間距也緩慢漂移。對任何在圓中向外漣漪的東西，它們是自然的詞彙。
每個階 nu 有兩種主要類型。第一類貝索函數 J_nu(x) 是性質良好的解：它在中心 x = 0 處有限（對 nu >= 0），是你在實心圓盤或圓柱的物理問題中保留的那個。它由弗羅貝尼烏斯級數 J_nu(x) = 從 m=0 起的 (-1)^m / (m! Gamma(m + nu + 1)) 乘 (x/2)^(2m + nu) 之和給出，其中 Gamma 函數為非整數階提供階乘。第二類貝索函數 Y_nu(x)（又稱諾伊曼函數）是那個會爆掉的夥伴，它在 x = 0 處像對數般趨於負無窮，需用於排除中心的區域問題，例如兩管之間的環域。對整數階，正是 Y_n 承載著相等根弗羅貝尼烏斯情形所要求的對數。
它們不可或缺的性質是：振盪、一道無窮的零點階梯（在鼓與波導問題中定下容許頻率）、在圓盤上以權重 x 的正交性（傅立葉－貝索級數的基礎），以及把 J_(nu-1)、J_nu、J_(nu+1) 及其導數連繫起來的整潔遞迴。對 x 大時，它們安頓成乾淨的漸近形式 J_nu(x) 約等於 sqrt(2/(pi x)) cos(x - nu pi/2 - pi/4)，使「拉伸的正弦」這幅圖在極限下成為精確。
對半整數階 nu = 1/2，貝索函數是初等的：J_(1/2)(x) = sqrt(2/(pi x)) sin(x)。這是貝索函數化約成熟悉函數的罕見情形，正是「拉伸的正弦」這幅圖被照字面實現，振幅像 1/sqrt(x) 般縮小。
半整數階給出初等貝索函數；整數與一般階則不然，這正是這些函數值得擁有自己的名稱與函數表的原因。
唯有 nu 非整數時，J_nu 與 J_(-nu) 才是獨立解；對整數 n，J_(-n) = (-1)^n J_n 並非新解，你必須引入 Y_n（帶其對數）作為真正的第二個解。