級數解與特殊函數
貝索方程（Bessel equation）
/ BESS-ul /
每當一個問題具有圓形或圓柱對稱時（圓形鼓面的振動、圓管內的溫度、光通過圓孔的繞射、圓柱波導中的波），在徑向分離變數便產生這一個方程。貝索方程是勒讓德方程在圓柱對稱下的對應物，在物理與工程中同樣無所不在。
它寫作 x^2 y'' + x y' + (x^2 - nu^2) y = 0，其中參數 nu（「階」，常是非負實數）由問題定下，x 通常是縮放後的半徑。點 x = 0（圓盤或管的中心）是正則奇點，故你不能在那裡用普通冪級數，必須用弗羅貝尼烏斯法。其指標方程為 r^2 - nu^2 = 0，根為 r = +nu 與 r = -nu，所得的弗羅貝尼烏斯級數便定義出貝索函數。半徑透過 x^2 項進入，使方程在 x 大時呈振盪，故其解像減幅的正弦餘弦般上下擺動，但振幅與間距緩慢變化。
貝索方程是完整弗羅貝尼烏斯法的教科書老家，因為其指標根之差為 2nu，隨 nu 變化會帶你落入三種情形中的每一種：非整數（乾淨）、半整數（乾淨但特殊）、整數（那裡會出現可怕的對數）。這使它不僅在物理上居於中心，也是學習奇點級數解究竟如何表現的典範例子。
半徑為 a 的振動圓鼓，其徑向部分遵守 0 階貝索方程。容許的振動頻率由要求解 J_0 在邊緣 r = a 處為零決定，故鼓的泛音由 J_0 的零點分隔，而那些零點（不像弦的）並非等間距，這正是鼓聲不和諧的原因。
邊界條件挑出貝索函數的零點作為容許模態，而那些零點不等間距，與弦的諧波不同。
儘管方程裡有 x^2，常數 nu 是固定參數，並非要去求解的冪次；真正浮現的指數是 +-nu，來自指標方程，而非 nu 本身。
又称
另见