生成函數（generating function）
假設你有一整個無窮的物件族（勒讓德多項式 P_0、P_1、P_2、...），而你想把它們全部打包成單一個緊湊的公式。生成函數正是做這件事：它是一個雙變數函數，其對某一變數的冪級數展開，把整個族裝在它的係數裡，像一個解壓後變成整串序列的壓縮檔。
具體說，生成函數 G(x, t) 的構造使得當你把它展開成 t 的冪級數時，t^n 的係數就是你那族的第 n 個成員：G(x, t) = 從 n=0 起的 P_n(x) t^n 之和。經典例子是勒讓德生成函數 1/sqrt(1 - 2 x t + t^2) = 從 n=0 起的 P_n(x) t^n 之和。兩個方向都讀一讀。順著看，把左邊依 t 的冪展開，便一個接一個地交給你 P_0、P_1、P_2、...，毫不費力。倒著看，左邊的閉式往往本身有物理意義，此處 1/sqrt(1 - 2 x t + t^2) 恰是反距離（庫侖或重力）位的形式，這正是勒讓德多項式一開始就出現在多極展開中的原因。
生成函數備受珍視，因為它把關於整個序列的困難事實，化為對單一函數的容易代數。對 G 微分、或把它乘以 t 再比對係數，幾乎免費地產生遞迴關係以及許多正交與導數恆等式，用一個巧妙的操作取代了繁瑣的歸納法。幾乎每個古典特殊函數族（勒讓德、埃爾米特、拉蓋爾、切比雪夫、貝索）都有自己標誌性的生成函數，而知道它往往是通往其性質的最快路徑。
由 G(x, t) = 1/sqrt(1 - 2 x t + t^2)，對小 t 展開：1 + (x) t + ((3x^2 - 1)/2) t^2 + ...。讀出係數即 P_0 = 1、P_1 = x、P_2 = (3x^2 - 1)/2，勒讓德多項式直接掉出來，無須再解微分方程。
讀出 t 的係數，便一次取回整個多項式族，整串序列打包進一個閉式中。
生成函數首先是一種形式上的記帳工具，其次才是收斂函數；許多恆等式只需把它當冪級數操作就得出，即便在某些區間上，嚴格說你還應檢查級數是否收斂。