勒讓德多項式（Legendre polynomials）
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從勒讓德方程中，對每個非負整數 l，產生出一個特殊多項式，它有限、性質良好、用途極廣。這些就是勒讓德多項式，寫作 P_0、P_1、P_2 等等。它們之於球面上的函數，正如正弦餘弦之於圓上的函數：一組完備的建構積木，任何合理的角度形狀都能由它們拼出。
具體而言，頭幾個是 P_0(x) = 1、P_1(x) = x、P_2(x) = (3x^2 - 1)/2、P_3(x) = (5x^3 - 3x)/2，各為該 l 之勒讓德方程的終止級數解，並歸一化使 P_l(1) = 1。它們可由幾種等價方式生成：由遞迴 (n+1) P_(n+1) = (2n+1) x P_n - n P_(n-1) 從前兩個長出每一個，或由生成函數一次全部得到，或由羅德里格斯（Rodrigues）的緊湊公式 P_n(x) = (1/(2^n n!)) 對 (x^2 - 1)^n 取 d^n/dx^n。它們的定義性結構性質是正交性：當 m 與 n 相異時，從 -1 到 1 的 P_m(x) P_n(x) dx 積分為零，這正是讓你能把任意函數展開成勒讓德多項式之和、並各自獨立地算出每個係數的原因。
你會在哪裡遇見它們：電荷分佈的多極展開、略非球形地球的重力場、氫原子的角度部分、數值積分的高斯求積。它們大概是繼三角函數之後最常用的特殊函數，而它們之所以存在，正因為勒讓德方程的級數恰好在整數 l 處終止。
直接驗證正交性：從 -1 到 1 的 P_1 P_2 dx = 從 -1 到 1 的 x 乘 (3x^2-1)/2 dx = 0，因為被積函數是奇函數。而以 n = 1 代入遞迴得 2 P_2 = 3 x P_1 - P_0 = 3x^2 - 1，故 P_2 = (3x^2 - 1)/2，與列表相符。
正交性加上遞迴是兩件日常工具：一個讓你展開函數，另一個讓你廉價地生成 P_n。
勒讓德多項式在 [-1, 1] 上以簡單權重 1 正交，不像許多表親（埃爾米特、拉蓋爾）需要一個權重函數；別以為每個族都以權重 1 正交。