非線性系統、穩定性與李雅普諾夫理論
雅可比矩陣（Jacobian matrix）
/ ya-KOH-bee-an /
當一個函數吃進好幾個數、吐出好幾個數時，再問它單一的「斜率」就沒有意義了——可以微分的方向有很多個。雅可比矩陣就是這個多變數情境裡導數的誠實替身。它是一張格表，記錄每一個輸出對每一個輸入的微小變化如何反應，而且它正是在某點附近最佳逼近該函數的線性映射。
具體地說，對平面系統 x' = f(x,y)、y' = g(x,y)，雅可比矩陣是 2×2 的格表 J = [∂f/∂x, ∂f/∂y; ∂g/∂x, ∂g/∂y]，每一格都是一個偏導數——固定另一個變數、只微調一個變數時某分量變化多快。把每一格在某特定點（通常是平衡點）求值，就得到一個由純數字組成的矩陣。這個數字矩陣就是原方程在附近所近似成的線性系統 u' = J u。
雅可比矩陣是非線性系統與你已熟悉的線性理論之間的橋樑。它在平衡點的特徵值決定了局部類型——結點、鞍點、焦點、中心——而它的行列式與跡直接餵入跡－行列式分類。同一個矩陣在數學各處出現：作為重積分換元時的伸縮因子，以及多變數牛頓法中的步驟。
對 f = x - x y、g = -y + x y，雅可比矩陣為 [1 - y, -x; y, -1 + x]。在平衡點 (1,1) 處它變成 [0, -1; 1, 0]，其特徵值為加減 i——線性化預測一個中心。
每一格都是偏導數；在平衡點求值把函數矩陣變成隨時可作特徵值分析的數字矩陣。
別把雅可比矩陣與雅可比行列式混為一談——工程師常把單獨的行列式叫做「雅可比」。判斷穩定性需要整個矩陣（及其特徵值），而不只是它的行列式。
又称
另见