哈特曼－葛羅曼定理（Hartman-Grobman theorem）

線性化給你一個逼近非線性系統、在平衡點附近的簡單線性系統。但這個線性圖像究竟正不正確，還是只是一張一廂情願的草圖？哈特曼－葛羅曼定理就是那份保證。它說，在邊界情形之外，平衡點附近真正的非線性流就是其線性化的一份輕微彎曲的複本——定性行為相同，只是畫在扭曲的紙上。

精確地說：若 x* 是雙曲平衡點——那裡雅可比矩陣 J 的每個特徵值實部都不為零——則在一個小鄰域內存在一個連續的一對一座標變換，把非線性軌跡變成線性系統 u' = J u 的軌跡。「拓樸共軛」是專業說法：你可以用連續伸縮把一張相圖變形成另一張，而不撕裂。於是鞍點仍是鞍點，穩定結點仍是穩定結點，穩定焦點仍是穩定焦點——進入與離開方向的數目、以及是否螺旋，都被保留。

這就是為什麼實務上信任線性化：在雙曲平衡點，計算一個矩陣的特徵值就完全解決了局部問題，不需任何非線性分析。這個定理對自己的邊界也很誠實。當平衡點是非雙曲時（某特徵值實部為零），它什麼都不說。那裡線性化的中心可能是真系統的螺旋，或邊界可能藏著緩慢漂移——你丟掉的非線性項此時決定判決，你必須看得更仔細。