格林函數（Green's function）
/ GREEN's /
想像在一張繃緊的鼓面上的單一點戳一下，並記錄鼓面各處因此產生的凹陷。如今鼓面上任何一般的負載——遍布整個表面的壓力——都能藉由把各點戳擊所致的凹陷相加、並依你在那裡按壓的力度縮放而建構出來。格林函數正是那份對單一集中單位戳擊之響應的記錄；一旦擁有它，你便能藉疊加為任何負載求解。
確切地說，對帶給定齊次邊界條件的線性邊值問題 L[y] = f(x)，格林函數 G(x, s) 是當強迫 f 為集中於點 s 的單位脈衝（狄拉克δ函數 delta(x - s)）時的解。於是一般強迫的解為積分 y(x) = 從 a 到 b 的 G(x, s) f(s) ds——你把脈衝響應以實際負載加權，並對所有源點 s 求和（積分）。函數 G 除了在 x = s 處外處處滿足方程，符合邊界條件，在 s 處連續，並在那裡其斜率有一個由δ設定大小的內建跳躍。在這個意義下，G 是算子 L 的逆：L 把 y 變成 f，而對 G 積分則把 f 變回 y。
格林函數之所以強大，在於它把整個解算子打包成單一物件，算一次便可對每個右端重複使用。它乾淨地把方程與邊界條件（決定 G）和特定強迫（只是被積分進去）分離開來。它與特徵函數美妙地相連，因為 G 可寫成對模態之和 y_n(x) y_n(s) / lambda_n，並直接推廣到靜電學、熱流與量子散射的偏微分方程，在那裡它是數學物理的核心工具之一。
對 [0, 1] 上附 y(0) = y(1) = 0 的 -y'' = f(x)，格林函數為：當 x <= s 時 G(x, s) = x(1 - s)，當 x >= s 時 G(x, s) = s(1 - x)。於是 y(x) = 從 0 到 1 的 G(x, s) f(s) ds 對任何 f 解出該邊值問題。注意 G 在 x = s 處連續，但其斜率在那裡跳躍——這是單位脈衝的標誌。
從脈衝響應一次性建構 G；然後每個強迫 f 都由對它的單一積分解出。
格林函數恰在對應的齊次邊值問題只有平凡解時存在——亦即當 0 不是特徵值時。若 lambda = 0 是特徵值，算子不可逆，普通的格林函數便不存在；你需要一個修正版本，以及對 f 的可解性條件。