邊值問題（boundary value problem）
/ BVP /
假設你想知道一條懸掛在兩根柱子之間的纜繩的形狀。你不知道它在任一端的斜率，也不是從一根柱子出發沿途推進；相反，你只知道兩件事實——纜繩固定在每根柱子上時的高度。中間的形狀，由下垂的物理規律決定，並被那兩個端點條件釘住。這正是邊值問題的精神：你掌控的是解在區間兩端的值，而非在單一起點的值。
確切地說，你在一個區間上有一個微分方程，例如在 a <= x <= L 上的 a y'' + b y' + c y = g(x)，連同施加在兩個端點 a 與 L 上的條件——例如 y(a) = A 與 y(L) = B（固定值），或 y'(a) = 0 與 y'(L) = 0（固定斜率），或兩者的混合。這些就是邊界條件。方法是先寫出方程帶有兩個任意常數的通解，再強迫這些常數滿足兩個端點條件。你最終做的不是沿時間向前積分，而是解一個關於這些常數的小型方程組。
穩態與平衡現象正是以邊值問題的形式提出的：兩端夾緊的受載樑的撓度、兩端維持固定溫度的桿子上的溫度分布、兩端固定在琴橋上的吉他弦上的駐波。它們也是通往特徵值理論、以及通往用分離變數法求解偏微分方程的門戶，其中問題的空間部分永遠是一個邊值問題。
在 0 <= x <= 1 上求解 y'' + y = 0，附帶 y(0) = 0 與 y(1) = 2。通解為 y = c1 cos(x) + c2 sin(x)。條件 y(0) = 0 給出 c1 = 0，而 y(1) = 2 給出 c2 sin(1) = 2，故 c2 = 2/sin(1)。於是 y = (2/sin(1)) sin(x)——唯一的一個解。
兩個端點條件釘住了通解中的兩個常數——但與初值問題不同，這未必總是可解的。
邊值問題可能恰有一個解、完全沒有解、或有無限多個解——並沒有像初值問題那樣的一般存在與唯一性保證。出現哪種情形，微妙地取決於方程與端點。