邊值問題與初值問題之對比（boundary value problem versus initial value problem）
兩種釘住一條運動規則的方式，導向兩個截然不同的世界。初值問題像發射一枚拋射物：你在某一瞬間固定一切——此刻的位置與速度——未來便完全確定地展開。邊值問題像是要求一條起於此、且必須終於彼的路徑：你在兩個分開的地點各固定一個事實，然後問哪條曲線能穿行其間。前者從單一點向前看；後者橫跨整個區間。
對二階方程而言，兩種問題都用掉相同的兩條資訊，但放置的方式不同。初值問題給出 y(a) 與 y'(a)——在同一點 a 的值與斜率。邊值問題給出 y(a) 與 y(L)——在兩個不同點的值（或斜率）。這種位置的調動改變了一切。對於良好的線性方程，由存在與唯一性定理，初值問題恰有一個解。邊值問題卻沒有這樣的保證：把第二個條件推到遠端，可能使求解兩個常數的代數變得矛盾（無解）或退化（無限多解）。
其實際後果是巨大的。初值問題一步一步向前推進，尤拉法或龍格－庫塔法之類的數值方法可直接對其積分。邊值問題不能只是向前推進，因為你不知道起點的斜率；它們要求一次性地求出整條曲線——用打靶法（猜測缺失的初始斜率再修正）、用鬆弛法，或者在特殊的齊次情形下，用斯圖姆－劉維爾理論的特徵值方法。知道你面對的是哪一種類型，便決定了該用哪些工具。
取 y'' + y = 0。附 y(0) = 0、y'(0) = 1 的初值問題有唯一解 y = sin(x)。但附 y(0) = 0、y(pi) = 0 的邊值問題卻有無限多個解 y = c sin(x)（對每個 c 皆成立），因為 sin(pi) = 0 使第二個條件自動成立。同一個方程，相反的結果。
同一個微分方程：初值問題恰有一個解，而在這些端點上的邊值問題卻有無限多個解。
別把初值問題那種令人安心的直覺照搬過來。「一個方程加兩個條件等於一個解」這條乾淨規則是初值問題的事實；對邊值問題而言，存在性與唯一性都可能失效，而這種失效並不代表你算錯了。