齊次邊值問題（homogeneous boundary value problem）

想像一條兩端固定的弦，沒有人撥動它、也沒有力驅動它——被拉得平直而靜止。規則裡沒有任何東西推它，兩端被釘在零。一個答案顯而易見：它就保持平直，處處 y = 0。有趣的問題是：是否有其他形狀也能滿足同樣全為零的條件。這個問題——「什麼都不做」的問題何時暗藏一個非平凡的答案——正是齊次邊值問題的核心。

形式上，齊次邊值問題既有一個齊次方程（右端為零），又有齊次邊界條件（每個端點條件的右端也為零）——例如 y'' + p y' + q y = 0 附 y(a) = 0 與 y(L) = 0。因為一切都是零，恆等於零的函數 y(x) = 0 永遠滿足它；這稱為平凡解。決定性的問題是是否還存在一個非平凡解。對大多數方程而言並不存在，y = 0 是唯一的解。但對特殊方程——或者關鍵地說，帶有可調參數的方程——一個真正非零的解便可能出現。

這個設置之所以重要，在於它是特徵值理論的溫床。當齊次方程含有一個參數 lambda，如 y'' + lambda y = 0 附 y(0) = y(L) = 0，對幾乎每個 lambda 值你得到的都只是平凡解——除了在一個特殊的離散 lambda 值集合上，那裡突然存在一個非平凡解。那些特殊值就是特徵值，那些非平凡解就是特徵函數。因此，研究齊次邊值問題何時擁有多於零解的解，正是進入斯圖姆－劉維爾理論的門徑。