負索伯列夫空間 H^{-1}（the negative Sobolev space H^{-1}）
當你推一張振動的薄膜時，「力」不必是個整齊的函數——你可能在單一一點上按壓，或沿著一條線施力，給出一個過於奇異、無法成為普通函數的負載。偏微分方程 L u = f 中的右端 f 應當被允許那麼粗糙。負索伯列夫空間 H^{-1} 就是容許的右端之空間：它大到足以容納那些奇異的施力，卻又馴服到讓方程在 H^1_0 中有唯一解。
形式上，H^{-1}(U) 是 H^1_0(U) 的對偶空間：所有 H^1_0 上連續線性泛函之集合，也就是所有「量測規則」F，它以有界、線性的方式吃進一個 H^1_0 函數 v 並回傳一個數 F(v)。每個 L^2 中的 f 都藉由積分給出這樣的規則，v 映到 integral of f v，所以 L^2 坐落在 H^1_0 的對偶之中。但對偶包含更多——例如一個 L^2 函數的導數，它一般而言不是函數。這正是口號「H^{-1} 比 L^2 少含一階導數」的精確意涵：你藉由對 L^2 函數做一次弱導數而抵達 H^{-1}。具體地說，H^{-1} 的每個元素都可寫成 f_0 + div(F)，其中 f_0 是某個 L^2 函數、F 是某個 L^2 向量場——一個函數加上某些平方可積之物的散度。
為何這是資料的自然居所：弱形式恰恰透過對偶配對 F(v) 把右端 f 與試驗函數 v 配在一起，所以最乾淨的存在理論（拉克斯-米爾格拉姆）只要求 f 落在 H^{-1} 中，而非 L^2。這也是為什麼 H^{-1} 作為拉普拉斯算子的自然到達空間出現：負的拉普拉斯算子把 H^1_0 等距同構地映成它的對偶 H^{-1}——對 H^{-1} 中的 f 求解「負拉普拉斯 u = f」總是恰有一個 H^1_0 中的解 u。這個負指標 k = -1，字面上就是在虧損方向數導數，正與正索伯列夫空間相鏡像。
在平面上的一個定義域中，狄拉克 delta（一個點負載）不在 L^2 中——它甚至不是函數。但在二維及以下，它是 H^1_0 上的連續泛函，所以 delta 住在 H^{-1} 中。這正是為什麼「負拉普拉斯 G = delta」（定義格林函數的方程）在平面上有合理的弱解 G 屬於 H^1_0：奇異的資料坐落在正確的對偶空間裡。
像點力這樣的奇異負載住在 H^{-1} 中，即右端的自然空間。
H^{-1} 確切地是 H^1_0 的對偶，而非整個 H^1 的對偶——這個選擇很重要，因為烘焙進 H^1_0 的邊界行為，正是使負拉普拉斯成為到 H^{-1} 之等距同構的原因。此外，「H^{-1} 包含 L^2」是關於一個自然嵌入的陳述（透過 L^2 內積），而非字面上的集合包含；把 L^2 與它自身對偶的一部分等同起來，是標準但略微微妙的蓋爾范德三元組約定。