多重约束（multiple constraints）

一条小路把你限制在一条曲线上；两条交叉的小路则把你钉在一个点上。当一个优化必须同时满足不止一条、而是好几条等式约束——g1 = c1, g2 = c2, 等等——可行集就收缩了。在三维中，两个约束曲面通常相交于一条曲线，你便沿这条交线优化。拉格朗日方法自然地推广：你只需为每条约束配一个乘数。

最优条件变成 grad f = lambda1 乘 grad g1 + lambda2 乘 grad g2 + ...——目标的梯度是各约束梯度的线性组合，每个都以自己的乘数加权。几何上，grad f 必须落在约束梯度所张成的子空间里；等价地，grad f 中沿可行集（保持所有约束满足的方向）的分量必须为零，否则你仍能改善。与约束本身合在一起，便得到 n + m 个方程，含 n 个变量和 m 个乘数，你联立求解。

在实际问题中多重约束是常态而非例外：化学平衡同时守恒若干元素，投资组合必须达到目标收益、同时保持权重之和为一，结构必须满足多个载荷平衡。一个关键的诚实条件支撑着这套方法——约束梯度在最优点处必须线性无关（约束品性条件）。若不然，乘数可能不存在或不唯一，那幅漂亮的图景就会失效。