加边黑塞矩阵（bordered Hessian）

拉格朗日方法找出目标梯度与约束梯度平行的候选点，但它对每个候选点究竟是受约束的极大、极小还是两者皆非保持沉默。加边黑塞矩阵正是了结此问的二阶判别——它是检验普通黑塞矩阵定性的受约束类比。

它的构造是：取拉格朗日函数的黑塞矩阵（对变量的二阶导数），再用约束梯度做成的边把它镶起来。对 n 个变量中的一条约束 g，矩阵为 [0, grad g; (grad g) 转置, H]，是一个 (n+1) 阶对称矩阵。诀窍在于，普通定性问错了问题——你只关心沿尊重约束的方向（切空间）上的弯曲。那条边恰好编码了这一限制，判别法读取它若干顺序主子式的符号序列。正确的交错符号模式标志受约束极小；相反的模式标志受约束极大。

在经济学中，这一判别确认成本最小化或效用最大化的解确实是最优，而不仅是驻点。它是受约束优化二阶条件背后严格的后盾，也是灵敏度分析的基础。诚实的提醒：子式符号法则相当挑剔，确切的模式取决于约束的个数，实践中人们往往改为检验限制在切空间上的黑塞矩阵的特征值，那是同一思想更透明的表述。