卡罗需-库恩-塔克条件（Karush-Kuhn-Tucker conditions）
/ Karush: KAR-oosh; Kuhn: koon; Tucker: TUK-er /
拉格朗日乘数把等式约束处理得很漂亮，但真实问题还带着不等式：守住预算，让量保持非负，不超过产能。卡罗需-库恩-塔克条件，简称 KKT，是这类混合问题的最优点必须满足的一阶必要条件总集。它们是现代受约束优化的基石。
它有四个组成部分。稳定性：目标梯度被各约束梯度的加权和所平衡，grad f = sum of mu_i 乘 grad g_i 加上等式项——正是拉格朗日条件的推广。原始可行性：该点确实服从全部约束。对偶可行性：不等式约束上的乘数符号正确（标准设置下为非负），因为单边围栏只能推、绝不能拉。还有互补松弛，最微妙的一条：对每条不等式，要么约束起作用（紧绷，g = 0），要么它的乘数为零——你不能让一条松弛的约束仍然施力。互补松弛恰恰是起作用与否的代数表述。
KKT 是线性规划、二次规划、支持向量机、最优控制和经济均衡模型背后的引擎。关键的诚实之处：KKT 条件作为最优的必要条件，仅在某个约束品性条件（起作用约束梯度的某种正则性）下成立，而且一般而言它们是必要而非充分的——一个点可以满足 KKT 却仍非最优。最大的例外是凸问题：在那里，若约束良好，KKT 既必要又充分，任何 KKT 点都是全局最优。这正是凸性如此被看重的原因。
在 x 大于等于 1（写作 g(x) = 1 - x 小于等于 0）下求 f(x) = x^2 的极小。KKT 稳定性给出 2x - mu = 0 且 mu 大于等于 0，互补松弛为 mu(1 - x) = 0。约束起作用：x = 1, mu = 2，即受约束极小。
互补松弛迫使约束要么紧绷、要么乘数为零——这里约束是紧绷的。
在非凸问题中，KKT 点只是候选——是必要而非充分条件。只有对满足约束品性的凸问题，满足 KKT 才保证真正的全局最优。