極小極大近似（minimax approximation）

當你用更簡單的函數（譬如低次多項式）取代一個函數時，你在意的是整個範圍中「最糟」的錯誤，而非平均。一個 sin(x) 的函式庫常式必須在每個輸入上都準確，所以目標是讓那單一最大誤差盡可能小。極小極大近似正是如此：在給定形式的所有近似中，它找出最大誤差最小者——它「最小化」「最大」偏差。

形式上，對某區間上的目標 f，你尋找使最糟差距（所謂的 L-無窮或一致範數 max over x of |f(x) - p(x)|）最小的 n 次多項式 p。這與最小平方（最小化「平均」平方誤差，可能放任峰值誤差增長）不同，也與插值（迫使誤差在節點為零，卻不管別處）不同。極小極大解存在且唯一，並有一個由等波動定理描述的驚人特徵：誤差曲線 f(x) - p(x) 至少 n + 2 次達到其最大幅值，且每次正負號翻轉，像一道在 +E 與 -E 之間等量彈跳的波。那等漣波的圖樣就是最優性的指紋——若漣波不均，你就能微調 p 削去最高的那一個。

凡是需要保證誤差界的地方，極小極大都是黃金標準：數學函式庫中為 exp、log、sin 內建的多項式與有理近似都是極小極大設計，由尋找等波動解的 Remez 交換演算法算出。誠實的實務注記：真正的極小極大多項式比最小平方或插值更難計算（需要迭代的 Remez 演算法），所以實務上常用切比雪夫節點上的插值作為近極小極大的捷徑——它可證明在最優的一個小倍數之內，且便宜得多。極小極大回答「一個 n 次近似最好能多好？」，而它的存在仰賴魏爾斯特拉斯定理，後者說隨次數增長誤差可被驅至零。