魏爾斯特拉斯逼近定理（Weierstrass approximation theorem）
/ VY-er-shtrass /
在你花力氣建立一個函數的多項式近似之前，你會想要一個保證，確保這份力氣能成功——確保多項式豐富到能任意逼近「任何」合理的曲線。魏爾斯特拉斯逼近定理正是這個承諾，是支撐所有多項式近似的存在性保證。
它陳述道：閉有界區間 [a, b] 上的任何連續函數 f，都能被多項式以任意所欲的精度「一致」逼近。以符號表示，對每個容差 epsilon 大於 0，都存在一個多項式 p，使 max over x in [a, b] of |f(x) - p(x)| 小於 epsilon——你能一次把一個多項式擠進環繞整條曲線的 epsilon 薄帶內，無論 f 多麼搖擺（只要它連續且區間有限）。一個經典的建構性證明用伯恩斯坦多項式，它是 f 各值的一種明確平均，可證明隨次數增長一致收斂到 f；這不僅證明存在，還展示了一個確實有效的序列。此結果在斯通-魏爾斯特拉斯定理中遠遠推廣到多項式之外。
魏爾斯特拉斯是奠基石：它授權了極小極大近似（「最佳」多項式誤差可被驅至零，所以「n 次最好能多好？」這個問題有持續改善的答案），並使我們安心，整個近似事業並非無望之求。但要仔細讀它的誠實。它是一個「存在性」定理——它承諾好的多項式存在，卻不說它的次數或如何找到它，而所需的次數可能極其龐大。關鍵在於，它「不」說在任何固定節點上的「插值」會收斂：穿過等距點的 n 次插值仍可能發散（龍格現象），儘管「某個」n 次多項式能良好逼近 f。魏爾斯特拉斯保證的那個好近似，可能就不是你的節點所產生的那個——這正是為何節點選擇（切比雪夫）與樣條如此重要。
取 [-1, 1] 上的 f(x) = |x|，它有一個尖角且「不」是多項式。魏爾斯特拉斯保證有多項式一致地逼近它：一個 10 次最佳多項式處處把誤差保持在約 0.04 以下，而更高次將它縮向 0——一個平滑多項式任意貼近一條帶角的曲線。
即使帶角的函數，也能被擠進任意薄的多項式帶內。
魏爾斯特拉斯保證好的多項式「存在」；它「不」說插值能找到它。等距插值仍可能發散（龍格），而定理對所需次數不給任何界。存在不等於建構。