等波動定理（equioscillation theorem）

假設你已找到對某函數最好的 n 次多項式近似——最糟誤差最小的那個。你又該如何「認出」它？等波動定理給出一個乾淨、可檢驗的指紋：最佳近似是唯一一個其誤差上下搖擺、以交替正負號達到相同最大幅值相同次數的近似。

精確地說：n 次多項式 p 是連續函數 f 在某區間上的極小極大（最佳一致）近似，當且僅當誤差 e(x) = f(x) - p(x) 在「至少」n + 2 個相異點上達到其最大絕對值 E，且 e 的正負號在這些點之間「交替」（+E, -E, +E, ...）。為何最優必須長這樣？若誤差在較少處達到峰值 +E，或不交替，你就能加上一個小修正多項式，壓低最高峰而不抬高其餘——這就證明 p 並非最優。所以等量交替的漣波並非巧合；它們正是「再也無法改進」的條件。這個定理也給出唯一性：只有一個多項式能這樣等波動。

這個定理是極小極大近似背後的理論引擎，也是實用的 Remez 交換演算法的依據，該演算法反覆調整多項式以迫使誤差呈等波動圖樣，收斂到最佳近似。這正是為何設計良好的 sin 或 exp 函式庫近似，其誤差圖看起來像整齊均勻的漣波而非尖峰。誠實的適用範圍：定理刻畫的特別是最佳「一致」（最糟情形）近似——它對最小平方（平均誤差）擬合保持沉默，後者以加權意義等波動而非逐點，而且它假設你是在實區間上用普通多項式近似連續函數。