最速下降法（method of steepest descent）

最速下降法是把拉普拉斯方法搬进复平面。许多重要积分带有复指数，例如沿某条路径的 e^(M f(z)) dz，其中 f 解析、M 很大。被积函数以复杂的方式振荡并增长，没有显然的峰可以围绕。绝妙的一招是形变积分路径——对解析被积函数，柯西定理允许我们自由地这么做——把它挪到一条新路径上，使积分变成一个干净、尖峰、拉普拉斯型的问题。

运作方式是：写 f(z) = u(z) + i v(z)。被积函数的大小由 e^(M u) 主导。我们寻找一个鞍点 z0，满足 f'(z0) = 0，然后让围道穿过 z0，沿着 u 离开鞍点时下降最快的方向（最速下降路径）走。沿这条特殊路径，振荡相位 v 保持恒定，于是剧烈的振荡被关掉，被积函数变成一个实的、尖锐的鼓包，可以直接用拉普拉斯方法处理。主导结果与拉普拉斯方法同形：大致是 e^(M f(z0)) 乘以 sqrt(2 pi / (M |f''(z0)|))，再乘以一个由下降路径取向定下的相位因子。

这是贝塞尔函数、艾里函数、复平面里伽马函数以及许多积分变换在大宗量处渐近行为的主力工具；它也是统计力学与量子场论中鞍点求值的数学核心。诚实的提醒是：选对围道、穿过对的鞍点确实是一门艺术——可能有好几个鞍点，你必须恰好把形变路径真正越过的那些纳入进来（斯托克斯现象描述了这组鞍点如何会突然变化），否则你的答案就会出错。