可測黎曼映射定理
古典黎曼映射定理說任何單連通的真平面區域都可共形地映到圓盤——它產生「保角」映射。但若你想要一個按給定方式畸變角度的映射，在每一點告訴它朝哪個方向拉伸、拉多少呢？可測黎曼映射定理正回答此問：交給它一個無窮小橢圓場（一個貝爾特拉米係數），即使它只可測地變化，它也建構一個實現該畸變的擬共形映射。它是把「所欲的畸變資料」轉成「一個實際映射」的引擎。
精確地說，設 mu 為平面（或球面）上的可測函數，本質上確界 |mu| = k < 1。貝爾特拉米方程是偏微分方程 f_zbar = mu 乘 f_z，求一個複伸縮率為給定 mu 的同胚 f。定理（莫雷，繼而阿爾福斯-伯斯）斷言：存在球面的擬共形同胚 f 解此方程，且 f 在正規化後（譬如固定 0, 1, infinity）「唯一」。關鍵是 mu 只需「可測」——不要求連續，遑論光滑——而當 mu 在一個複解析族中變化時，解 f 全純地依賴於 mu（阿爾福斯-伯斯的參數化版本）。
這是整個泰希米勒理論之下的分析基石。曲面上的貝爾特拉米係數恰是複結構的無窮小形變，故解貝爾特拉米方程正是你從一個黎曼曲面移到一個形變者之道；對 mu 的全純依賴正是給泰希米勒空間其複解析結構之物。它也支撐克萊因群的形變理論（伯斯的同時單值化、蘇利文的無遊蕩域定理）與複動力學（擬共形手術）。誠實的微妙處：「可測」承擔了巨大的工作——同一陳述若帶上看似顯然的「mu 連續」要求會弱得多並錯過那些應用，那些應用慣常只需支撐在分形集上的、僅可測的伸縮率。
給定 mu(z) = 1/2 當 |z| < 1，mu(z) = 0 當 |z| > 1——一個跨單位圓不連續的貝爾特拉米係數，|mu| = 1/2 < 1，故僅可測。定理仍產生球面的擬共形同胚 f，其伸縮率恰為此：f 在圓盤內 3-擬共形（K = (1 + 1/2)/(1 - 1/2) = 3）、圓盤外共形，而 mu 的不連續毫無妨礙。沒有古典黎曼映射論證能達致這樣的映射；可測的假設不可或缺。
解一個不連續的貝爾特拉米方程：mu 跨圓跳變，但唯一的正規化擬共形解仍存在。
全部威力都在「可測」一詞：「不」要求 mu 連續，而這正是定理何以能觸及複動力學與克萊因群形變中支撐於分形的伸縮率。切勿把它想成稍加修改的古典黎曼映射定理——它是一個關於僅有可測係數之偏微分方程的整體存在與唯一性定理。