用對角化求矩陣指數（matrix exponential by diagonalization）
e^(At) 的級數定義雖誠實，卻不討計算器歡心，你得把無窮多個矩陣冪相加。對角化是那個技巧，只要矩陣性質良好，就讓計算近乎免費。其想法是：換到一個座標系，讓系統解耦成各自獨立的單變量問題，逐一輕易求解，再換回來。
以下是平實的步驟。求出 A 的特徵值 lambda_1, ..., lambda_n 與一整組特徵向量。把這些特徵向量疊成矩陣 P 的各列，把特徵值放上矩陣 D 的對角線。則 A = P D P^(-1)，這正是可對角化的意思。關鍵在於冪會漂亮地坍縮：A^k = P D^k P^(-1)，而 D^k 不過是把每個對角元各自取 k 次方。把這代入指數級數，P 與 P^(-1) 從每一項中提出，留下 e^(At) = P e^(Dt) P^(-1)。而 e^(Dt) 是平凡的：一個對角矩陣，對角線上放 e^(lambda_1 t), ..., e^(lambda_n t)。所以配方是：造出 P 與 D，把對角線逐個純量取指數，再用 P 與 P^(-1) 夾起來。
此法恰在 A 擁有一整組獨立特徵向量時奏效，特徵值兩兩相異時必然如此，重根時也常常（並非總是）如此。若某個特徵值的特徵向量不足，A 便無法對角化，這條乾淨的公式就此停擺；你得退回到廣義特徵向量與約當形。當特徵值為複數時，公式仍以複數元素成立，事後把共軛配對，便還原出實的正弦與餘弦。對角化是首選的主力方法，動用更花俏的工具之前先試它。
設 A = [1, 1; 0, 2]。特徵值為 1 與 2，特徵向量為 (1, 0) 與 (1, 1)。故 P = [1, 1; 0, 1]，D = [1, 0; 0, 2]，P^(-1) = [1, -1; 0, 1]。則 e^(At) = P [e^t, 0; 0, e^(2t)] P^(-1) = [e^t, e^(2t) - e^t; 0, e^(2t)]。驗證：在 t = 0 時這是 I，微分得 A e^(At)。全程不必手動加總任何無窮級數。
對角化換到特徵座標，那裡每個模態以純粹的 e^(lambda t) 成長，再把答案變換回來。
對角化需要一整組獨立特徵向量；對於虧損矩陣（重根所對應的特徵向量太少）無法對角化，P e^(Dt) P^(-1) 公式根本不適用。