約當形方法（Jordan form method）
/ zhor-DAHN (French) /
對角化是美夢，但有時矩陣很頑固：某個特徵值重複，卻提供不出足夠的獨立特徵向量來填滿基底。這樣的矩陣稱為虧損矩陣，乾淨的公式 e^(At) = P e^(Dt) P^(-1) 無處落腳。約當形是次佳的標準形狀，是虧損矩陣所能達到的最接近對角的樣子，而它仍精確告訴你如何計算 e^(At)。
你不把 A 化成純對角的 D，而是化成一個形式 J，除了對角線上方緊鄰處的少數幾個 1 之外都是對角的，這些 1 聚成若干區塊。每個約當塊在對角線上有單一特徵值 lambda，在次對角線上有 1。讓指數變得可處理的訣竅，是把區塊拆成 lambda I + N，其中 N 是帶 1 的那部分。N 是冪零的，它的某個冪是零矩陣，故 e^(Nt) 根本不是無窮級數，而是 t 的一個短多項式（I + Nt + N^2 t^2/2! + ...，在 N 的冪歸零那一刻便停止）。又因 lambda I 與 N 可交換，區塊的指數就是 e^(lambda t) 乘以那個有限多項式。解中多出來的那些 t 因子正源於此：一個 2×2 區塊產生像 e^(lambda t) 與 t e^(lambda t) 這樣的解，呼應單一方程的重根情形。你就這樣對每個區塊取指數，再用廣義特徵向量的換基矩陣作共軛，造出 e^(At)。
實務上，手算時你很少真去構造完整的約當結構；對單一重特徵值，可借廣義特徵向量或基於凱萊－哈密頓的方法直接抄捷徑到答案。約當形真正的價值在概念層面：它證明 e^(At) 總是存在，且總具有（t 的多項式）乘以（指數）的形狀，並把那些 t、t^2、... 因子解釋成特徵向量不足的精確後果。
取 A = [3, 1; 0, 3]，特徵值只有 3 卻只有一個特徵向量，故是虧損的。它本身就是單一約當塊：寫 A = 3I + N，N = [0, 1; 0, 0]，且 N^2 = 0。則 e^(Nt) = I + Nt = [1, t; 0, 1]，e^(At) = e^(3t) [1, t; 0, 1] = [e^(3t), t e^(3t); 0, e^(3t)]。因子 t e^(3t) 正是特徵向量不足的指紋。
約當塊拆成 lambda I 加上冪零的 N，而 N 的指數是 t 的有限多項式，正是每個多餘 t 因子的源頭。
只有矩陣虧損時才需要約當形；若特徵向量充足，對角化更簡單，而數值上精確構造約當形出了名地不穩定，故它主要是理論與手算的工具。