廣義特徵向量（generalized eigenvector）

一個普通的特徵向量是矩陣僅僅拉伸的一個方向，A v = lambda v，方向不變。但當一個重複的特徵值無法提供足夠多這樣的方向時，你需要幾乎是特徵向量的替身：它們以一點點之差不滿足那條方程，而那一點點本身就是一個真正的特徵向量。這些差一點點的向量，就是廣義特徵向量。

對特徵值 lambda，一個普通特徵向量滿足 (A - lambda I) v = 0。一個秩為 2 的廣義特徵向量，滿足較寬鬆的條件 (A - lambda I)^2 w = 0，而 (A - lambda I) w 不為零。關鍵結果是 (A - lambda I) w 恰好落在一個普通特徵向量 v 上，所以 w 在一條鏈上位於 v「後面」一步。更一般地，一個秩為 k 的廣義特徵向量被 (A - lambda I)^k 消滅，卻不被 (A - lambda I)^(k-1) 消滅，反覆施以 (A - lambda I) 會沿一條鏈把它走到一個真正的特徵向量。在秩為 2 的情形要找一個，你只需把已有的特徵向量取為 v，解線性方程組 (A - lambda I) w = v 求出 w。

廣義特徵向量的存在，正是為了修補特徵值方法中虧損（重複、特徵向量不足）的情形，它們正是產生帶 t 的解 e^(lambda t)(t v + w) 的那些向量。它們也是若爾當標準形的骨幹，其中每一條鏈成為一個若爾當塊。一言以蔽之：普通特徵向量用完時，廣義的補齊基底。