匹配渐近展开（matched asymptotic expansions）

当一个问题既有一个万事都发生得飞快的薄区域（边界层），又有一个万事都缓慢变化的宽区域时，没有任何单一近似能同时描述两者。匹配渐近展开法构造两个量身定制的近似——每个区域一个，各用自己自然的变量——再在一个重叠区里把它们粘合，使彼此吻合。它是求解奇异微扰问题的标准机器。

运作分四步。第一，外展开：令小参数为零（或对其展开），解那个在远离层处成立的约化问题；它满足远离层的边界条件，却不满足层内的。第二，内展开：通过对变量重新标度（例如 X = x/epsilon）放大到薄层之内，使快变化变成一阶量；解所得的内方程，它如今保留了先前被丢掉的最高阶导数项。第三，匹配条件：在中间的重叠区里，外解的内极限必须等于内解的外极限（常用范戴克匹配法则表述），这就定下各自的未知常数。第四，可选地把两者相加再减去它们共同的匹配部分，构成一个统一的复合近似。

这是流体力学中边界层理论的主要工具（普朗特对快速流中物体上薄粘性层的分析）、也是传热、反应扩散、以及任何带分离尺度模型的工具。诚实的提醒是：匹配很微妙，它假设确实存在一个重叠区，使两套展开同时有效。选对内标度（epsilon 的正确幂次）本身由主导平衡指引，是成败攸关的一步；错误的标度会给出一个要么重复外问题、要么自相矛盾的内方程，提示你猜错了。