盧默-菲利普斯定理（Lumer-Phillips theorem）
/ LOO-mer FILL-ips /
希爾-吉田告訴你算子何時生成壓縮半群，但它那個「預解式各次冪」的條件驗起來可能很彆扭。盧默-菲利普斯定理把同樣的結論重新包裝成一個常常一眼就能從物理驗證的條件：只要確認該算子永遠不會增加能量即可。若施加 A 只能把一個狀態的能量往下壓（或保持不變），再加上一個溫和的值域條件，那麼 A 就生成一個永不增長的半群——壓縮半群。它把一個定量的預解式估計，換成了一行能量不等式。
精確地說，在帶內積的希爾伯特空間 H 中工作。若對每個 x 屬於 D(A) 都有 Re (A x, x) <= 0，則稱算子 A 為耗散的——平方範數的變化率 d/dt of (norm of u)^2 = 2 Re (A u, u) 永不為正，故能量無法增長。盧默-菲利普斯定理陳述：稠定算子 A 生成 C_0 壓縮半群，若且唯若 A 是耗散的，「且」對某個（從而每個）lambda > 0，(lambda I - A) 的值域是整個 H。第二個子句恰好提供「足以讓預解式存在」的滿射性；實務上它由一個橢圓存在定理推出。所以配方是：分部積分證 (A u, u) <= 0，再引用橢圓可解性得到值域條件，就大功告成。
這是偏微分方程中最常用的生成定理，因為耗散性正是分部積分的能量估計所提供的東西。對拉普拉斯算子，(Laplacian u, u) = - integral of |grad u|^2 <= 0 由散度定理配上邊界條件直接掉出來；熱的能量只能減少。在壓縮之外，同樣的想法也處理么正群（斜伴的 A，此時能量恰好守恆——波動方程與薛丁格方程的情形），這使盧默-菲利普斯成為橫跨各方程型別的統一生成判準。
對 A = Laplacian 於 L^2(Omega) 帶狄利克雷條件、u 屬於 D(A)：由格林恆等式，(A u, u) = integral of (Laplacian u) u = - integral of |grad u|^2 <= 0（邊界項因該處 u = 0 而消失）。故 A 是耗散的。方程 lambda u - Laplacian u = f 的橢圓可解性給出值域條件。盧默-菲利普斯於是只用兩行短短的式子，就導出熱方程的壓縮半群。
耗散性（能量不能增長）加上一個值域條件，便生成壓縮半群。
光有耗散性並不夠——那個值域／滿射條件不可或缺，而它正是橢圓存在理論進場之處；略過它，你可能得到一個什麼都不生成的耗散算子。也要注意耗散只給出壓縮（不增長）；要得到真正的衰減，你還額外需要一個譜隙或一個龐加萊型的嚴格不等式。