希爾-吉田定理（Hille-Yosida theorem）
/ HILL-uh yoh-SHEE-dah /
這定理要解決的問題如下。你有一個抽象柯西問題 du/dt = A u、u(0) = u_0，你想知道：它對每個初始狀態是否都有唯一且性質良好的解——等價地說，算子 A 是否生成一個 C_0 半群 e^{tA}？你會非常希望有一張能直接在 A 上驗證的檢查表，完全不必去構造半群。希爾-吉田定理正是這張檢查表：一個乾淨的充要條件，完全以 A 的預解式來陳述。
最乾淨的版本（針對壓縮半群，即 norm of T(t) <= 1 者）寫作：一個稠定的閉算子 A 生成壓縮型 C_0 半群，若且唯若每個實 lambda > 0 都落在 A 的預解集中，且預解式滿足 norm of (lambda I - A)^{-1} <= 1/lambda。一般的陳述容許增長 norm of T(t) <= M e^{omega t}，此時要求預解式的各次冪有界，即對所有 lambda > omega 與所有 n，norm of (lambda I - A)^{-n} <= M/(lambda - omega)^n。用白話說：若把 A 往右平移得夠遠總能得到一個以 1/lambda 速率收縮的有界逆（並帶對的冪次界），那麼 A 就是一個合法的生成元，而它生成的半群可由預解式還原。
它的重要性是奠基性的：正是這條定理讓半群觀點變得可用。要證明一個拋物型（或任何線性）演化方程適定，你不再直接去追那個解；你只需在空間算子上驗證一個預解式估計——一個你大概本來就有的橢圓型先驗界——希爾-吉田便一舉把存在性、唯一性與連續依賴性交到你手上。它的證明是構造性的，並給出著名的吉田逼近：把無界的 A 換成有界的 A_lambda = lambda A (lambda I - A)^{-1}，安全地對它們取指數，再取極限。
對 A = Laplacian 於 L^2(Omega) 帶狄利克雷條件而言，方程 lambda u - Laplacian u = f 的橢圓估計給出對 lambda > 0 有 norm of u <= (1/lambda) norm of f，即 norm of (lambda I - A)^{-1} <= 1/lambda。希爾-吉田於是立刻推出 A 生成一個壓縮型 C_0 半群——因此熱方程初邊值問題適定，完全不必另外去構造 e^{t Laplacian}。
對 A 的一個預解式界，就是你斷定該演化適定所需的全部。
那個 1/lambda 的界是緊的，而當 M > 1 時，冪次條件 norm of (lambda I - A)^{-n} <= M/(lambda - omega)^n 不能退化成只驗一次冪——只查一次冪是個經典錯誤。對自伴或解析半群的情形，有更友善的等價形式（盧默-菲利普斯、扇形性），這也是為什麼完整一般性的希爾-吉田被援引的次數，少於它的那些特例。